芝诺悖论错在哪里？以刘翔和乌龟赛跑为例解释芝诺悖论

芝诺悖论错在哪里？以刘翔和乌龟赛跑为例解释芝诺悖论

芝诺,古希腊数学、哲学家。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。芝诺从“ 多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。

直到19 世纪中叶，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。”

芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。

以刘翔为例，乌龟在他前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当刘翔追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；刘翔必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米……只要乌龟还在爬，刘翔永远也追不上乌龟！

“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”我们当然知道刘翔能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。

类似刘翔追上乌龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说刘翔永远也追不上乌龟呢？

问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定刘翔最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。而无穷个步骤是难以完成。

悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取得再小，整个时间轴仍是由无限的时间点组成的。

《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

飞矢不动：一根箭是不可能移动的，因为箭在其飞行过程中的任何瞬间都有固定位置，则可知一枝动的箭是所有不动的集合，所以可导出一根箭是不可能移动的。中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭，只要箭离了弦，就能飞出去。但是，芝诺说，射出去的箭是不动的，因此是不能够到达另一个位置的。截取“飞矢”的每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是静止的，所以，“飞矢”是“不动”的。

“飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。而在实际中，时间长短永远不可能为零。

简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值。

以现实的态度理解“瞬间”这个概念就行。假设芝诺所说的“瞬间”可以用照相机拍下来，只要曝光及快门速度正确，每一张照片里，飞行的箭似乎“确实”是“不动”的。但是，这正是造成我们错觉的所在。不管照相机多么先进，不管高速摄影快门速度多块，现实之中，它永远不可能是零。

“芝诺悖论”之所以被称之为“悖论”，他自己也被后世称为“诡辩论者”，是因为他的悖论完全违反常理，但是，人们又不知道如何才能反驳他。

在微积分中有一个重要的概念叫做“无穷小”，数学符号写作“dx”。把无穷小的概念与零混淆，是初学者最容易犯的错误之一，虽然无穷小与零无限接近，但若把两者等同起来，得到的结果将是天差地别，比如出现飞矢“动”与“不动”的矛盾。

数学中无穷小（量）的概念已经解决了芝诺悖论问题。无穷小的定义涉及极限的定义，下面写出几个相关的定义，数学恐惧症可忽略下文^_^